1. 선형(Linear)이란?
컴퓨터 과학에 대해 배울 때 우리는 ‘선형’이라는 말을 자주 접합니다.
알고리즘에서 선형 복잡도를 말할 때도 '선형'이라는 말이 쓰이고, 자료구조 등에서도 '선형'이라는 말은 굉장히 많이 쓰입니다.
하지만 저는 '선형'의 의미가 모호할 때가 많았습니다. 선형대수학에서의 '선형'은 제가 알고 있는 선형과 다른 것 같았기 때문입니다.
그래서 이번 기회에 ‘선형’의 정확한 의미에 대해 확실히 알고자 이렇게 글을 쓰게 되었습니다.
2. 선형의 두 가지 정의
미적분학에서 선형 함수 (다항식 함수 관점)
형태의 직선의 방정식으로 나타낼 수 있는 함수.
상수 함수또는 1차 함수인 함수입니다.
다항식 함수관점에서 선형 함수는 ‘직선’ 형태를 가지고 있습니다.
선형대수학에서 선형 함수 (선형 함수 관점)
(가산성)
동차성)
즉, 선형성(linearity)을 만족하는 함수.
만약, 꼴이라면 일 때만 선형 함수입니다. (원점을 지나는 직선)
원점을 지나지 않는 경우를 구분하여 Affine Function(아핀 함수)라고 합니다.
가산성, 동차성 두가지 성질을 합쳐 중첩의 원리라고 합니다.
이것은 선형의 특성을 정하는 아주 중요하고, 유용한 원리입니다.
따라서 엄밀히 말하면 우리가 익히 알고 있던 선형 함수가 선형대수학에서는 선형 함수가 아닐 수 있습니다.
예를 들어, f(x) = x+2 경우
f(1) = 3
f(2) = 4
f(3) = 5
f(1+2) != f(1) + f(2)
위 식과 같이 중첩의 원리(가산성, 동차성)을 만족하지 않기 때문에 선형 함수라고 할 수 없습니다.
3. 중첩의 원리의 중요성
그럼 중첩의 원리가 왜 중요한 것인지 궁금할 수 있습니다.
핵심은 주어진 함수값으로 다른 함수값을 예측할 수 있다는 것입니다.
앞서 본 예시인 f(x) = x+2의 경우를 보면, f(1+2)의 값을 정확하게 예측할 수가 없습니다.
하지만 f(x) = 2x 라고 가정하면,
f(1) = 2
f(2) = 4
f(1+2) = f(3) = 6 = f(1)+f(2)
위 식과 같이 f(1), f(2)의 함수값을 통해 f(3)의 값을 예측할 수 있게 됩니다.
f(3)뿐만 아니라, f(4), f(2+3)=f(5) 등등 줄줄이 구할 수 있게 됩니다.
이처럼 선형 함수는 결과값(다른 함수값)을 예측할 수 있다는 장점을 가지고 있습니다.
즉, 선형조합으로 무수히 많은 해를 예측할 수 있기 때문입니다.
다음 시간에는 선형방정식 중에서도 우리가 많이 쓰게 될 1계 선형방정식에 대해 알아보겠습니다.
그럼 중첩의 원리를 적용할 수 없는 비선형에 대해서도 알아봅시다.
비선형 문제의 경우 중첩의 원리가 적용되지 않기 때문에 기저(해당 식의 모든 함수값을 나타낼 수 있는 해)를 통한 함수값 예측을 할 수 없습니다.
앞선 예시 f(x)= x+2 처럼 결과값이 입력값에 전혀 상관없이 예측이 불가능한 해가 나오기 때문입니다.
4. 결론
이러한 선형적인 특성은 결과값을 예측할 수 있다는 점에서 많은 분야에서 사용될 수 있습니다.
선형 방정식은 물리학, 공학, 경제학, 생물학 등 다양한 분야에서 모델링에 자주 사용됩니다.
예를 들어, 뉴턴의 운동 방정식이나 전기회로 분석, 화학반응 속도, 인구 모델링 등 다양하게 활용되는 것을 알 수 있습니다.
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