[미완] 컴공 학부생으로서 공학수학/선형대수학

1. 글을 쓰게 된 계기

소프트웨어학부로 전과하고, 처음 들었던 과목이 공학수학이었다.

아무래도 문과 출신이라 이과 학생들과 함께 듣는 공학수학은 굉장히 두려웠었다.

그래도 수학을 좋아했기 때문에 부딪혀 봤고, 결과적으로 괜찮은 성적을 받았다.

 

하지만 그 때 당시 교수님께서는 이걸 왜 배우는지에 대한 맥락 설명없이, 문제를 어떻게 풀어야 하는지에 초점을 맞추셨다.

그래서 문제 푸는 것은 잘했지만, 근본적으로 이것을 왜 배우는지에 대한 의문을 해결하지 못했다.

그저 문제 푸는 기계가 되어버린 것 같았다.

 

그 후, 쉴 새 없이 살았기 때문에 아직까지도 이 의문을 해결하지 못한 불편한 상태로 있었다.

그러나 운 좋게, 알고리즘 수업을 들으면서 공학수학 내용이 등장했다

그래서 이 기회를 통해 컴공 학부생으로서 어떤 맥락을 알아야 하고, 어떤 개념이 필요한지에 대해서 정리해보고자 한다.

 

2. 선형 방정식

- "선형 방정식"이란

a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b (a₁, a₂, ..., aₙ은 상수 계수, x₁, x₂, ..., xₙ은 변수, b는 상수)

와 같이 1차식으로 나타내는 방정식을 뜻한다.

 

쉽게 말해 1차방정식 == 선형 방정식이라고 할 수 있다.

여기서 간과하면 안되는 부분은 일차 방정식 또는 선형 방정식은 최고 차수의 항의 차수가 1을 넘지 않는 다항 방정식을 뜻한다.

다시 말해, 최고 차수가 1를 넘지 않은 상수도 일차 방정식/선형 방정식이라고 할 수 있다는 것이다.

이 외에도 가장 중요한 중첩의 원리가 있는데 선형방정식에 대한 설명은 아래에 정리했다.

 

2023.04.02 - [Linear algebra] - 선형대수학에서 선형이란?

선형대수학에서 선형이란?

 

- "계"란

미분방정식에 포함된 도함수에서 가장 많이 미분된 횟수를 계라고 부른다.

예를 들어, 1계 선형방정식은 아래와 같이 표현될 수 있다.

그럼 여기서 이런 질문이 생길 수 있다.

y = 2x와 같은 형식이 아닌 a1(x)y'+ a0(x)y = g(x) 의 형태로 우리가 익히 알고 있는 1차 함수와 뭔가 달라보인다.

 

하지만 너무 당연하지만 다르지 않은 형식이다. y - 2x = 0으로 나타내면 해당 형식과 크게 다르지 않기 때문이다.

해당 식에서 y=2, x=1와 같은 해집합을 구할 수 있다.

 

3. 제차/비제차 선형방정식

 

제차 방정식은 f(x) = 0 인 선형방정식을 뜻한다.

비제차 방정식은 f(x) = g(x) 일 때, g(x)가 0이 아닌 선형방정식을 뜻한다.

 

그럼 우리가 정의한 선형방정식, 계, 제차/비제차 정의를 합쳐 아래와 같이 정의할 수 있다.

 

4. 자명해, 일반해

우리가 앞서 언급한 제차 선형방정식을 통해 일반해와 자명해의 개념을 알아보자.

• 자명해(trivial solution) : 이것은 주어진 미분방정식만으로도 자명하게 도출되는 해를 말한다.
• 일반해(general solution) : 매개변수를 통해 여러 개의 특수해를 나타낸 것.
• 특수해(particular solution) : 미분방정식을 만족하고, 임의의 매개변수를 포함하고 있지 않는 함수.

 

먼저 자명해에 대해 더 와닿게 설명을 하자면, 앞 서 설명한 것처럼 제차 선형방정식은 우변이 0이며 좌변은 각 항이 y의 변수로 이뤄진 방정식이다.

여기서 y = 0을 대입하면 y'= 0, y''= 0 와 같이 x값에 상관없이 좌변이 무조건(자명하게) 0이 된다.

이처럼 모든 상황에서 무조건(자명하게) 참이 되는 해(여기선 y=0)를 자명해라고 한다.

 

제차방정식에서 y=0이라는 자명해가 있다는 사실은 제차방정식을 강력하게 만드는 장점이다.

 

일반해는 위의 예처럼 매개변수 c를 통해 여러개의 특수해가 될수 있는 해를 말한다.

특수해는 c의 값을 특정하여, 특정 경우에서만 해가 되는 것을 말한다.